如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有 - 已解决

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如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA=4∶3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点。

（1）求证：AC·CD=PC·BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S。

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（1）∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

又∵PC⊥CD，

∴∠PCD=90°，而∠CAB=∠CPD，

∴△ABC∽△PCD，

∴

，

∴AC·CD=PC·BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E，

∵P是AB中点，

∴∠PCB=45°，CE=BE=

BC=2

，

又∠CAB=∠CPB，

∴tan∠CPB=tan∠CAB=

，

∴PE=

，

而PC=PE+EC=

，

由（1）得CD=

PC=

；

（3）当点P在AB上运动时，S_△PCD=

PC·CD，

由（1）可知，CD=

PC，

∴S_△PCD=

PC²，

故PC最大时，S_△PCD取得最大值；

而PC为直径时最大，

∴S_△PCD的最大值S=

×5²=

。

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