如图,已知：AB是⊙O的直径,点C和动点P位于直径AB的两侧,点P在半圆弧AB上 运动,直线
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考点：圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定.专题：几何综合题.分析：（1）由AB是⊙O的直径,根据直径对的圆周角是直角,即可得∠ACB=90°,又由PD⊥CD,可得∠D=∠ACB,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得∠A=∠P,根据有两角对应相等的三角形相似,即可判定：△PCD∽△ABC；（2）由△PCD∽△ABC,可知当PC=AB时,△PCD≌△ABC,利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由∠ACB=90°,AC=AB,可求得∠ABC的度数,然后利用相似,即可得∠PCD的度数,又由垂径定理,求得 = ,然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数,继而求得答案．（1）证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵PD⊥CD,∴∠D=90°,∴∠D=∠ACB,∵∠A与∠P是 对的圆周角,∴∠A=∠P,∴△PCD∽△ABC；（2）当PC是⊙O的直径时,△PCD≌△ABC,理由：∵AB,PC是⊙O的半径,∴AB=PC,∵△PCD∽△ABC,∴△PCD≌△ABC；（3）∵∠ACB=90°,AC=AB,∴∠ABC=30°,∵△PCD∽△ABC,∴∠PCD=∠ABC=30°,∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,∴=,∴∠ACP=∠ABC=30°,∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．
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