解题思路：（Ⅰ）求出f′（x），函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而可转化为函数的最值问题解决；
（Ⅱ）根据f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f（[a+b/b]）＞f（1），从而可证明[1/a+b＜ln
a+b
b]；构造函数g（x）=x-lnx（x＞1），易判g（x）在（1，+∞）上是增函数，可得x＞1时g（x）＞g（1），由此可证明ln[a+b/b]＜[a+b/b]．
（Ⅰ）f′(x)＝
ax−1
ax2，a＞0，
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f′(x)＝
ax−1
ax2≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，亦即a≥
1
x对x∈[1，+∞）恒成立，
a≥(
1
x)max＝1，即a≥1．
故正实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）证明：一方面，由（1）知，f(x)＝
1−x
ax+lnx在[1，+∞）上是增函数，
所以f(
a+b
b)＞f(1)＝0，即
1−
a+b
b
a•
a+b
b+ln
a+b
b＞0，即ln
a+b
b＞
1
a+b．
另一方面，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-[1/x]=[x−1/x]＞0（x＞1），
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，
又g（1）=1＞0，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，则ln[a+b/b]＜[a+b/b]．
综上，[1/a+b]＜ln[a+b/b]＜[a+b/b]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数与函数单调性的关系以及应用导数证明不等式问题．f′（x）≥0（不恒为0）是可导函数f（x）在某区间上递增的充要条件．
1年前
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