已知a∈R，函数f(x)＝lnx+1x+ax．
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解题思路：（Ⅰ）当a=0时，求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）分类讨论，利用f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，可利用导数的正负，建立不等式，分离参数，求最值，即可求a的取值范围．
（Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx+[1/x]（x＞0），
所以f′（x）=[x−1
x2．
所以，当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
所以，当x=1时，函数有最小值f（1）=1． …（6分）
（Ⅱ）f′（x）=
ax2+x−1
x2．
当a≥0时，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求．
当a＜0时，要使f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，
当且仅当x∈[2，+∞）时，ax2+x-1≤0恒成立．
即a≤
1−x
x2恒成立．
设g（x）=
1−x
x2，则g′(x)＝
x−2
x3，
又x∈[2，+∞），所以g′（x）≥0，即g（x）在区间[2，+∞）上为增函数，
所以g（x）的最小值为g（2）=-
1/4]，所以a≤-[1/4]．
综上，a的取值范围是a≤-[1/4]，或a≥0．…（13分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最大值，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．
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