已知函数f(x)=lnx-ax+[1−a/x]-1(a∈R).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4.当a=[1/4]时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围.
解题思路:(Ⅰ)先求出函数的导数,分别讨论①当a=0时②当0<a<[1/2]时③当a=[1/2]时④当a<0时,⑤当[1/2]<a<1时,⑥当a≥1时的情况,从而求出函数的单调区间;
(Ⅱ)当
a=
1
4
时,根据函数的单调性,得出
f(
x
1
)≥f(1)=−
1
2
,又已知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),从而
−
1
2
≥g(
x
2
)
的最小值,求出b的范围.
(Ⅰ)∵f′(x)=-
[ax+(a−1)](x−1)
x2(x>0),
令g(x)=ax2-x+1-a,
①当a=0时,g(x)=-x+1,当x∈(0,1)时,g(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
②当0<a<[1/2]时,由f′(x)=0,x1=1,x2=[1/a]-1.此时 [1/a]-1>1>0,
列表如下:
由表格可知:函数f(x)在区间(0,1)和([1/a]-1,+∞)上单调递减,在区间(1,[1/a]-1)上单调递增;
③当a=[1/2]时,x1=x2,此时f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)单调递减;
④当a<0时,由于 [1/a]-1<0,则函数f(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.
⑤当[1/2]<a<1时,令f′(x)=
−ax2+x+a−1
x2>0,得-ax2+x+a-1>0,解得:[1/a]-1<x<1,
此时f(x)在([1/a]-1,1)递增,在(0,[1/a]-1)和(1,+∞)递减;
⑥当a≥1时,由于[1/a]-1≤0,令f′(x)>0,得-ax2+x-1+a>0,解得:0<x<1,
此时函数f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;
综上:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.
当a=[1/2]时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
当0<a<[1/2]时,函数f(x)在区间(0,1)和([1/a]-1,+∞)上单调递减,在区间(1,[1/a]-1)上单调递增.
当[1/2]<a<1时,f(x)在([1/a]-1,1)递增,在(0,[1/a]-1)和(1,+∞)递减;
当a≥1时,函数f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;
(Ⅱ)当a=
1
4时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,
所以对任意x1∈(0,2),有f(x1)≥f(1)=−
1
2,
又已知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),
所以−
1
2≥g(x2)的最小值,最后答案为b>[17/4].
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,考查分类讨论思想,是一道综合题.
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