已知函数f(x)=lnx-ax+[1−a/x]-1(a∈R).
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解题思路:(Ⅰ)先求出函数的导数,分别讨论①当a=0时②当0<a<[1/2]时③当a=[1/2]时④当a<0时,⑤当[1/2]<a<1时,⑥当a≥1时的情况,从而求出函数的单调区间;

(Ⅱ)当

a=

1

4

时,根据函数的单调性,得出

f(

x

1

)≥f(1)=−

1

2

,又已知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),从而

1

2

≥g(

x

2

)

的最小值,求出b的范围.

(Ⅰ)∵f′(x)=-

[ax+(a−1)](x−1)

x2(x>0),

令g(x)=ax2-x+1-a,

①当a=0时,g(x)=-x+1,当x∈(0,1)时,g(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;

②当0<a<[1/2]时,由f′(x)=0,x1=1,x2=[1/a]-1.此时 [1/a]-1>1>0,

列表如下:

由表格可知:函数f(x)在区间(0,1)和([1/a]-1,+∞)上单调递减,在区间(1,[1/a]-1)上单调递增;

③当a=[1/2]时,x1=x2,此时f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)单调递减;

④当a<0时,由于 [1/a]-1<0,则函数f(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.

⑤当[1/2]<a<1时,令f′(x)=

−ax2+x+a−1

x2>0,得-ax2+x+a-1>0,解得:[1/a]-1<x<1,

此时f(x)在([1/a]-1,1)递增,在(0,[1/a]-1)和(1,+∞)递减;

⑥当a≥1时,由于[1/a]-1≤0,令f′(x)>0,得-ax2+x-1+a>0,解得:0<x<1,

此时函数f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;

综上:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.

当a=[1/2]时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

当0<a<[1/2]时,函数f(x)在区间(0,1)和([1/a]-1,+∞)上单调递减,在区间(1,[1/a]-1)上单调递增.

当[1/2]<a<1时,f(x)在([1/a]-1,1)递增,在(0,[1/a]-1)和(1,+∞)递减;

当a≥1时,函数f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;

(Ⅱ)当a=

1

4时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,

所以对任意x1∈(0,2),有f(x1)≥f(1)=−

1

2,

又已知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),

所以−

1

2≥g(x2)的最小值,最后答案为b>[17/4].

点评:

本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

考点点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,考查分类讨论思想,是一道综合题.

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