已知函数f（x）=lnx-ax+[1−a/x]-1（a∈R），当a≤[1/2]时，讨论f（x）的单调性．
1个回答
解题思路：利用导数的运算法则得出f′（x），分a=0，a＜0，
0＜a＜
1
2
，a=[1/2]讨论起单调性．当a=0时，容易得出单调性；当a=[1/2]，a＜0，
0＜a＜
1
2
时，分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的区间即可得出单调区间．
f′(x)＝
1
x−a−
1−a
x2=-
ax2−x+1−a
x2=-
[ax+(a−1)](x−1)
x2（x＞0），
令g（x）=ax2-x+1-a，
①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当0＜a＜[1/2] 时，由f′（x）=0，x1=1，x2=[1/a]-1．此时 [1/a]-1＞1＞0，
列表如下：
由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和(
1
a−1，+∞)上单调递减，在区间(1，
1
a−1)上单调递增；
③当a=[1/2] 时，x1=x2，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜0时，由于 [1/a]-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
当a=[1/2]时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当0＜a＜
1
2时，函数f（x）在区间（0，1）和(
1
a−1，+∞)上单调递减，在区间(1，
1
a−1)上单调递增．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．
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