已知数列{an}中，a1=1，a2＝14，且an+1＝(n−1)ann−an（n=2，3，4，…）．
1个回答
解题思路：（1）直接利用递推式，代入计算即可；
（2）对数列递推式取倒数，再叠乘，即可得到数列{an}的通项公式；
（3）对通项平方，再放缩，利用裂项求和，即可证得结论．
（1）∵a1=1，a2＝
1
4，且an+1＝
(n−1)an
n−an
∴a3＝
1
7，a4＝
1
10．
（2）当n≥2时，[1
an+1−1＝
n−an
(n−1)an−1＝
n(1−an)
(n−1)an＝
n/n−1(
1
an−1)，依次代入得
1
an+1−1＝n(
1
a2−1)．
整理得当n≥2时，an+1＝
1
3n+1]，即an＝
1
3n−2．
又n=1时也成立，故an＝
1
3n−2，n∈N*．
（3）证明：当k≥2时，有ak2＝
1
(3k−2)2＜
1
(3k−4)(3k−1)＝
1
3(
1
3k−4−
1
3k−1)，
从而
n
k＝1ak2＝1+
n
k＝2ak2＜1+
1
3(
1
2−
1
3n−1)＜
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．
考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列通项的求解，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，利用放缩、裂项求和．
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