数列{an}中，a1=2，an+1=an+c•n（c是不为零的常数，n∈N+），且a1，a2，a3成等比数列．
1个回答
解题思路：（1）由a1，a2，a3成等比数列可得c的方程，解出即可；
（2）由（1）可知an+1=an+2n，运用累加法可求；
（3）表示出
a
n
-c
n•
c
n
，利用错位相减法可得Tn，根据Tn的单调性可求得其范围；
解（1）a2=a1+c=2+c，a3=a2+2c=2+3c，
依题意：
a22=a1•a3，即（2+c）2=2（2+3c），
解得 c=0（舍去），c=2；
（2）n≥2时，a2-a1=2，a3-a2=4，…an-an-1=2（n-1），
以上各式相加得an-a1=2+4+…+2（n-1）=n（n-1）an=n2-n+2，
n=l时，a1=2=12-1+2，
所以∀n∈N*，an=n2-n+2；
（3）
an-c
n•cn=
n-1
2n，
Tn=
1
22+
2
23+
3
24…+
n-2
2n-1+
n-1
2n(n＞1)，2Tn=
1
2+
2
22+
3
23…+
n-2
2n-2+
n-1
2n-1，
以上两式相减得Tn=
1
2+
1
22+
1
23+…+
1
2n-1-
n-1
2n=1-
n+1
2n，
∵当n∈N+时，y=
n+1
2n是减函数，且y=
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．
考点点评： 本题考查等比数列的定义、利用递推式求数列通项即错位相减法对数列求和，属中档题．
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