解题思路：（1）整理an+1=an+6an-1得an+1-3an=-2（an-3an-1），an+1+2an=3（an+2an-1），进而判断出当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）利用（1）中求得的an+2an-1和an+1-3an，两式相减求得an，进而求得当k为奇数时，
1
a
k
+
1
a
k+1
−
4
3
k+1
=
4
k
•[8−7•
(
3/2
)
k
]
3
k+1
•(
3
k
+
2
k
)•(
3
k+1
−
2
k+1
)
＜0
原式得证．
（3）利用（2）中的结论，进而可知当n为偶数时，求得
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
＜
1
2
(1−
1
3
n
)＜
1
2]，n为奇数时，[1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
＜
1/2
(1−
1
3
n+1
)＜
1
2]，综合原式可证．
（1）由an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）得：
an+1+2an=3（an+2an-1），an+1-3an=-2（an-3an-1）
且a2+2a1=15，a2-3a1=-10．
∴当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）得an+1+2an=15×3n-1，an+1-3an=-10×（-2）n-1
以上两式相减得an=3n-（-2）n．
当k为奇数时，[1
ak+
1
ak+1−
4
3k+1＝
1
3k+2k+
1
3k+1−2k+1−
4
3k+1
=
−7×6k+8×4k
3k+1•(3k+2k)•(3k+1−2k+1)＝
4k•[8−7•(
3/2)k]
3k+1•(3k+2k)•(3k+1−2k+1)＜0，
∴
1
ak+
1
ak+1＜
4
3k+1]．
（3）由（2）知，当k为奇数时，[1
ak+
1
ak+1＜
4
3k+1＝
1
3k+
1
3k+1；
∴当n为偶数时，
1
a1+
1
a2+…+
1
an
点评：
本题考点： 等比关系的确定；不等式的证明．
考点点评： 本题主要考查了等比关系的确定，不等式的证明．考查了学生的逻辑思维能力和推理能力．
1年前
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