如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC
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以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
则由题意可得，点A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．
设平面D′AC的一个法向量为
n =（u，v，w），则由
n ⊥
D′A ，
n ⊥
D′C ，可得
n •
D′A =0 ，
n •
D′C =0 ．
∵
D′A =（1，0，1），
D′C =（0，2，1），∴
u+w=0
2v+w=0 ，解得
u=2v
w=-2v ．
令v=1，可得 u=2，w=-2，可得
n =（2，1，-2）．
由于
BC′ =（-1，0，-1），∴
n •
BC′ =-0，故有
n ⊥
BC′ ．
再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．
由于
CB =（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d=
|
n •
CB |
|
n | =
|2×1+1×0+(-2)×0|
2 2 +1 2 +(-2) 2 =
2
3 ，
故直线BC′到平面D′AC的距离为
2
3 ．
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