抛物线y2=2x上求一点P 使点P到直线x-y+3=0的距离最短
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设此点纵坐标是a

则x=a^2/2

(a^2/2,a)到直线距离=|a^2/2-a+3|/√(1^2+1^2)

a^2/2-a+3=(1/2)(a-1)^2+5/2>0

所以绝对值可以去掉

且a=1,a^2/2-a+3最小,即距离最小

a^2/2=1/2

所以P(1/2,1)

把直线平移至正好和抛物线相切,则切点就是距离最短的点

设切线是y=x+m

则y^2=x^2+2mx+m^2=2x

x^2+2(m-1)x+m^2=0

相切所以只有一个公共点,

所以判别式等于0

所以4(m-1)^2-4m^2=0

-2m+1=0

m=1/2

所以x^2-x+1/4=0

x=1/2,y=x+m=1

P(1/2,1)

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