解题思路：（1）当k=1时，得出正方形的边长为π+2，然后当圆O在边AB上运动时，圆心O运动的路程为正方形的边长减去圆的直径；当圆O在BC边上运动时，圆心O运动的路程为2π；当圆O在CD边上运动时，同理圆心O的路程为π；当圆O在AD边边上运动时，圆心O运动的路程为2π，计算出总路程，除以圆的周长可得出圆转动的圈数；当k=2时，得出正方形的边长为2π+2，然后当圆O在边AB上运动时，圆心O运动的路程为正方形的边长减去圆的直径，即为2π；当圆O在BC边上运动时，圆心O运动的路程为3π；当圆O在CD边上运动时，同理圆心O的路程为2π；当圆O在AD边边上运动时，圆心O运动的路程为3π，计算出总路程，除以圆的周长可得出圆转动的圈数；同理当n=k时，归纳得到圆运动的圈数为2n+1；
（2）如图，连接OE，OF，可得出四边形OEBF为边长为1的正方形，用正方形的面积减去扇形OEF的面积，可得出不规则图形BEF的面积，然后由大正方形ABCD的面积-小正方形A′B′C′D′的面积-4图形BEF的面积，可得出圆O滚过的面积．
（1）∵圆O的半径为1，k=1时正方形的边长为π+2，
∴当圆O从开始到与BC边相切时，圆心O走过的路程为π+2-2=π；
当圆O从与AB边相切到与DC边相切时，圆心O走过的路程为2π；
当圆O与BC相切到与AD边相切时，圆心O走过的路程为π；
当圆O从与DC边相切到与AB边相切时，圆心O走过的路程为2π，
∴圆心O走过的总路程为6π，又圆的周长为2π，
∴当k=1时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了3圈；
∵圆O的半径为1，k=2时正方形的边长为2π+2，
∴当圆O从开始到与BC边相切时，圆心O走过的路程为2π；
当圆O从与AB边相切到与DC边相切时，圆心O走过的路程为3π；
当圆O与BC相切到与AD边相切时，圆心O走过的路程为2π；
当圆O从与DC边相切到与AB边相切时，圆心O走过的路程为3π，
∴圆心O走过的总路程为10π，
又圆的周长为2π，
∴当k=2时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动5圈；
同理：当k=n时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动（2n+1）圈．
故答案为：3，5，2n+1；（9分）
（2）如图，连接OE，OF，
∵S四边形ABCD-S四边形A'B'C'D′=（nπ+2）2-（nπ-2）2
=[（nπ+2）+（nπ-2）][（nπ+2）-（nπ-2）]
=2nπ×4
=8nπ，（14分）
且S图形EFB=S正方形OEBF-S扇形OEF=12-
90π•12
360=1-[π/4]，
则⊙O滚过的面积S=S四边形ABCD-S四边形A'B'C'D′-4S图形EFB=8nπ-4（1-[π/4]）=8nπ+π-4．（18分）
点评：
本题考点： 切线的性质；正方形的性质；扇形面积的计算．
考点点评： 此题考查了切线的性质，正方形的性质，扇形面积公式，锻炼了学生归纳总结，灵活转化的能力，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面．其中不规则图形面积可以用规则图形相加减来求，也可以通过平移，旋转，拼割等方法来求．
