解题思路：求出导函数f′（x），根据f（x）在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增，可以确定f′（2）=0，从而求出k=[1/2]或k=-[3/8]，再分别对它们进行验证是否符合题意，经过验证，判断出k=[1/2]时符合题意，k=-[3/8]时不合题意，最后确定存在k的值，使函数f（x）=k2x4-[2/3]x3-kx2+2x+[1/2]在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增．
∵f（x）=k2x4-[2/3]x3-kx2+2x+[1/2]，
∴f′（x）=4k2x3-2x2-2kx+2，
∵函数f（x）=k2x4-[2/3]x3-kx2+2x+[1/2]在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
由函数f′（x）的连续性可知，f′（2）=0，
∴f′（2）=32k2-4k-6=0，解得k=[1/2]或k=-[3/8]，
下面对k=[1/2]或k=-[3/8]分别进行验证：
①若k=[1/2]时，f′（x）=x3-2x2-x+2=（x+1）（x-1）（x-2），
当1＜x＜2，f′（x）＜0，
当x＞2，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增，
∴k=[1/2]符合题意；
②若k=-[3/8]时，f′（x）=[9/16x3-2x2+
3
4x+2=
9
16(x-
7-
193
9)(x-2)(x-
7+
193
9)，
当1＜x＜2，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上递增，
∴k=-
3
8]不合题意．
综合①②，存在k=[1/2]，满足题意．
∴存在k=[1/2]，使函数f（x）=k2x4-[2/3]x3-kx2+2x+[1/2]在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．本题的关键是要注意对k的值进行验证，同时也是易错点．属于中档题．
