（2010•泰安二模）已知函数f（x）=x3-（4a-3）x2+4a（a-1）x（a∈R）．
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解题思路：（I）把a=2代入，对函数求导，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解不等式可求解出函数的单调区间，进一步求函数的极值，然后比较极值与端点值，找出函数的最值
（II）函数f（x）在区间（1，2）上不单调⇔f'（x）=0在（1，2）上有实根，且无重根，结合二次函数在（1，2）上的图象求解
（本小题满分12分）
（I）当a=2时，f（x）=x3-5x2+8xf'（x）=3x2-10x+8
令f'（x）=0得3x2-10x+8=0，x1=[4/3]，x2=2（2分）f（x）在[1，2]上变化如表
由上表知，f（x）在[1，
4
3]上单调递增，在[
4
3，2]上单调递减
∴f(x)min＝f(
4
3)＝
112
27
∵f（1）=f（2）=4
∴f（x）min=4（6分）
（II）f'（x）=3x2-2（4a-3）x+4a（a-1）
若函数f（x）在（1，2）上不单调，则方程f'（x）=0在（1，2）上有实根，且无重根（8分）
由f'（x）=3x2-2（4a-3）x+4a（a-1）=0
解得x1＝
2a
3，x2＝2(a−1)
则
1＜
2a
3＜2
2a
3≠2(a−1)或
1＜2(a−1)＜2
2a
3≠2(a−1)（10分）
解得a∈(1，
3
2)∪(
3
2，2)∪(2，3)（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了利用导数求最值，其步骤：①对函数求导②分别解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，写出函数的单调区间③结合单调区间求函数的极值④计算端点值，与极值比较，找出最值
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