已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
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解题思路：（I）根据题意得f（x）=xlnx，得曲线y=f（x）在x=1处的斜率k=f'（1）=1，再由直线方程的点斜式即可求出曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（II）当a=0时，可得f′（x）=lnx，解出当x∈
[
1
2
，3]
时，f′（x）＞0的解集为（1，3]且f′（x）＜0的解集为[[1/2]，1），由此列出函数的导数与单调性关系的表格，得函数的值域为[-1，-[1/2]ln2-[1/2]]．由此结合函数的图象即可得到满足条件的实数m的取值范围；
（III）求导数，得f'（x）=lnx+a，由f'（x）=0得x=e-a．然后分a＞1、-1≤a≤1和a＜-1三种情况加以讨论，分别得到函数f（x）在区间
[
1
e
，e]
上的单调性，通过比较函数的极值与区间端点的值，即可得到f（x）在区间
[
1
e
，e]
上的最小值的三种情况，得到本题答案．
（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，∴k=f'（1）=1，f（1）=0，…（3分）
∴所求的切线方程为y=x-1．…（4分）
（Ⅱ） 当a=0时，f（x）=xlnx-x，f′（x）=lnx+1-1=lnx…（5分）
∴由
f′(x)＞0
1
2≤x≤3⇔
lnx＞0
1
2≤x≤3⇔1＜x≤3，
f′(x)＜0
1
2≤x≤3⇔
1
2≤x＜1，…（6分）
故可列表：
x [1/2] (
1
2，1) 1 （1，3） 3
y′ - 0 +
y −
1
2ln2−
1
2 ↘ -1 ↗ 3ln3-3∵−
1
2ln2
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数闭区间上最值求法等知识，属于中档题．
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