已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x）≥-x2+ax-6在（0，+∞）上恒成立
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解题思路：（1）在定义域内解不等式f′（x）＜0即可；
（2）分离参数a后转化为求函数的最值问题解决；
（3）设切点为T（x0，y0），由KAT=f′（x0），得一方程，构造函数转化为函数零点处理．
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由f′（x）＜0得lnx＜-1，∴0＜x＜[1/e]，
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，[1/e]）；
（Ⅱ）f（x）≥-x2+ax-6，即a≤lnx+x+[6/x]，
设g（x）=lnx+x+[6/x]，则g′（x）=
x2+x−6
x2=
(x+3)(x−2)
x2，
当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴实数a的取值范围是（-∞，5+ln2]；
（Ⅲ）设切点T（x0，y0），则KAT=f′（x0），∴
x0lnx0
x0+
1
e2＝lnx0+1，即e2x0+lnx0+1=0．
设h（x）=e2x+lnx+1，当x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）是单调递增函数，
∴h（x）=0最多只有一个根，又h（
1
e2）=e2×
1
e2+ln
1
e2+1＝0，∴x0＝
1
e2．
由f′（x0）=-1，得切线方程是x+y+
1
e2=0．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了导数的几何意义及综合运用导数研究函数的单调性、最值问题．对于不等式恒成立问题往往转化为最值问题解决，注意区分过某点的切线与某点处的切线的区别．
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