（1）抛物线的解析式为：
;
（2）①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t 2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②存在.R点的坐标是（3,﹣
）;
（3）M的坐标为（1,﹣
）．
试题分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax 2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;
（2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax 2+bx+c,
∵正方形的边长2,
∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）,
把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣
）代入得：
,
解得a=
,b=﹣
,c=﹣2,
∴抛物线的解析式为：
,
答：抛物线的解析式为：
;
（2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ 2=PB 2+BQ 2,
=（2﹣2t） 2+t 2,
即S=5t 2﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t 2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t 2﹣8t+4（0≤t≤1）,
∴当S=
时,5t 2﹣8t+4=
,得20t 2﹣32t+11=0,
解得t=
,t=
（不合题意,舍去）,
此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣
）,
若R点存在,分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,
则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣
,
即R（3,﹣
）,
代入
,左右两边相等,
∴这时存在R（3,﹣
）满足题意;
（ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,
则R（1,﹣
）代入,
,
左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述,存点一点R（3,﹣
）满足题意．
答：存在,R点的坐标是（3,﹣
）;
（3）如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,
理由是：∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,
∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,
即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得：
,
解得：k=
,b=﹣
,
∴y=
x﹣
,
抛物线
的对称轴是x=1,
把x=1代入得：y=﹣
