如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且满足6a-3b=2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围；
②当S=
5
4
时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标；如果不存在,请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）从图上可知抛物线经过点A、B点,结合已知条件可以求得A、B、C点的坐标,即可得出解析式；
（2）根据勾股定理和已知条件,可以求得PB、BQ的长度,即可求出S与运动时间t之间的函数关系式（0≤t≤1）；
（3）首先根据S的值,求出t的值,继而求出P、Q点的坐标,然后分情况讨论：假设存在这样的R点,①R在BQ的右边,②R在BQ的左边③R在PB的下方,根据平行四边形的性质求出R点的坐标,代入抛物线解析式,看能否使等式成立,能的话,这种情况就存在．
（1）据题意知：抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0,-2）,点B（2,-2）,
而且6a-3b=2
则
c=-2
4a+2b+c=-2
6a-3b=2
,
解得
a=
1
6
b=-
1
3
c=-2
,
∴抛物线的解析式为：y=
1
6
x2-
1
3
x-2；
（2）①由图象知：PB=2-2t,BQ=t,
则S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2,
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）,
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1）,
∴当S=
5
4
时,5t2-8t+4=
5
4
,
得20t2-32t+11=0,
解得t=
1
2
,t=
11
10
（不合题意,舍去）,
此时点P的坐标为（1,-2）,Q点的坐标为（2,-
3
2
）；
若R点存在,分情况讨论：
[A]假设R在BQ的右边,这时QR
∥
.
PB,则,R的横坐标为3,R的纵坐标为-
3
2
即R（3,-
3
2
）,代入y=
1
6
x2-
1
3
x-2,左右两边相等,
∴这时存在R（3,-
3
2
）满足题意．
[B]假设R在BQ的左边,这时PR
∥
.
QB,则：R的横坐标为1,纵坐标为-
5
2
,
即（1,-
5
2
）,代入y=
1
6
x2-
1
3
x-2,左右两边不相等,R不在抛物线上．
[C]假设R在PB的下方,这时PR
∥
.
QB,则：R（1,-
5
2
）代入,y=
1
6
x2-
1
3
x-2,
左右不相等,
∴R不在抛物线上．
综上所述,存点一点R（3,-
3
2
）满足题意．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定,根据解析式求点的坐标,平行四边形的性质等知识点,本题关键在于求得解析式,结合图形求相关点的坐标．
