已知2008=x(y−1x),其中x,y为正整数,求x+y的最大值和最小值.
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解题思路:首先根据2008=

x(y−

1

x

)

可知xy=2009,再根据x,y为正整数,确定x、y可能的取值.根据xy的乘积的个位是9,确定x、y的个位可能是1、3、7、9.通过x、y都具有同等的地位,那么x取过的值,y也有可能,故只取x即可,x的十位数最大不会超过5.因而

就x取值可能是1、11、13、17、19、21、23、27、29、31、33、37、39、41、43、47、49.就这几种情况讨论即可.

∵2008=x(y−

1

x)

2008=xy-1

∴2009=xy

∵x,y为正整数,并且乘积是2009的个位数是9

因而x、y的个位可能是1、3、7、9

①当x的个位是1时,

x=1,y=2009显然成立,

x=11,y不存在,

x=21,y不存在,

x=31,y不存在,

x=41,y=49,

②当x的个位是3时

x=3,y不存在,

x=13,y不存在,

x=23,y不存在,

x=33,y不存在,

x=43,y不存在;

③当的个位是7时

x=7,y=287

x=17,y不存在

x=27,y不存在

x=37,y不存在

x=47,y不存在;

④当x的个位是9时

x=9,y不存在

x=19,y不存在

x=29,y不存在

x=39,y不存在

x=49,y=41.

故可能的情况是

①x=1,y=2009或x=2009,y=1,x+y=2010

②x=7,y=287或x=287,y=7,x+y=7+287=394

③x=41,y=49或x=49,y=41,x+y=41+49=90

故x+y的最大值是2010,最小值是90

点评:

本题考点: 因式分解的应用.

考点点评: 本题考查的是因式分解.解决本题的关键是根据已知,尽量缩小x、y的可能取值范围,并且都要涉及到.