（2012•西区一模）已知函数f（x）=ax3+bx+4a，a，b∈R，当x=2，f（x）有极值−43
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解题思路：（1）由题意可得f′（2）=0，f（2）=-[4/3]，由此列方程组可解得a，b，从而可得f（x）解析式；
（2）由（1）所求解析式可得f′（x），利用导数可得f（x）的单调区间及极值，根据f（x）的图象的大致形状即可求得k的范围；
（1）f′（x）=3ax2+b，
依题意得
f′(2)＝12a+b＝0
f(2)＝8a+2b+4＝−
4
3，解得
a＝
1
3
b＝−4，
所以所求解析式为f（x）=[1/3x3−4x+
4
3]．
（2）由（1）可得f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，得x=±2，
当x＜-2或x＞2时f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0；
所以当x=-2时f（x）取得极大值，f（-2）=[20/3]，当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=-4，
要使方程f（x）=k有3个解，只需-4＜k＜[20/3]．
故实数k的取值范围为：-4＜k＜[20/3]．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题考查函数在某点取得极值的条件及根的个数判断，考查数形结合思想，属中档题．
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