（2012•枣庄一模）已知函数f(x)＝13ax3+b2x2+x+1，其中a＞0，a，b∈R．
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解题思路：（1）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有解，a＞0，根据二次方程的性质可求解；
（2）f（x）在区间[1，2]上单调递增，可得f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解．
（1）由已知得f′（x）=ax2+bx+1，
令f′（x）=0，得ax2+bx+1=0，
f（x）要取得极值，方程ax2+bx+1=0，必须有解，
所以△=b2-4a＞0，即b2＞4a，
此时方程ax2+bx+1=0的根为：
x1=
−b−
b2−4a
2a，x2=
−b+
b2−4a
2a，
所以f′（x）=a（x-x1）（x-x2）
当a＞0时，
所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值．
（2）要使f（x）在区间[1，2]上单调递增，需使f′（x）=ax2+bx+1≥0在[1，2]上恒成立．
即b≥−ax−
1
x，x∈[1，2]恒成立，
所以b≥-（−ax−
1
x） max
设g（x）=−ax−
1
x，g′（x）=-a+[1
x2=
1−ax2
x2，
①当
1
a∈[1，2]时，即
1/4]≤a≤1，g（x）=−ax−
1
x≤-2
ax•
1
x=-2
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 本题考查了函数极值取得的条件，函数的单调区间问题：由f′（x）＞0，解得函数的单调增区间；反之函数在[a，b]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，进而转化为求函数在区间[a，b]上的最值问题，体现了分类讨论及转化思想在解题中的应用．
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