已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线 y=-
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（1）∵函数f（x）=x 3+ax 2+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，
求导函数可得：f′（x）=3x 2+2ax+b，
∵在x=1处的切线为直线 y=-
1
2 ．
∴f（1）=1+a+b=-
1
2 ，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-
3
2 ，b=0，
∴f（x）=x 3-
3
2 x 2，
（2）f（x）=x 3-
3
2 x 2，f′（x）=3x 2-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x 3-
3
2 x 2=0，可得x=0或x=
3
2 ，
∴0＜m＜
3
2 时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥
3
2 时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值 m 3 -
3
2 m 2 ．
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