已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c图 - 已解决

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．

（Ⅰ）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；

（Ⅱ）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．

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1个回答

（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，（1分）

由题意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f′（1）=3+2a+b=0，

即b=-2a-3，c=a+4（2分）

f ′ (x)=3 x 2 +2ax-(2a+3) =3(x-1)(x+1+

3 ) ，（3分）

1当a=-3时，f′（x）=3（x-1）²≥0，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上单调增加，

不存在单调减区间；（5分）

2当a＞-3时，-1-

3 ＜1，有

x （- ∞，-1-

3 ）（-1-

3 ，1）（1，+∞）

f′（x） + - +

f（x） ↑ ↓ ↑ ∴当a＞-3时，函数f（x）存在单调减区间，为[-1-

3 ，1]（7分）

3当a＜-3时，-1-

3 ＞1，有

x （-∞，1）（1，-1-

3 ）（-1-

3 ，+∞）

f′（x） + - +

f（x） ↑ ↓ ↑ ∴当a＜-3时，函数f（x）存在单调减区间，为[1，-1-

3 a ]（9分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x=1不是函数f（x）的极值点，则a=-3，

b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2（10分）

设点P（x₀，y₀）是函数f（x）的图象上任意一点，则y₀=f（x₀）=（x₀-1）³+2，

点p（x₀，y₀）关于点M（1，2）的对称点为Q（2-x₀，4-y₀），

∵f（2-x₀）=（2-x₀-1）³+2=-（x₀-1）³+2=2-y₀+2=4-y₀

∴点Q（2-x₀，4-y₀）在函数f（x）的图象上．

由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．（14分）

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