设fn（x）=x+x2+x3+…+xn（n=2，3 - 已解决

设fn（x）=x+x2+x3+…+xn（n=2，3，…），证明：

设f_n（x）=x+x²+x³+…+xⁿ（n=2，3，…），证明：

（Ⅰ）方程f_n（x）=1在[0，+∞）内有唯一实根x_n．

（Ⅱ）求极限

lim

n→∞

x_n．

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解题思路：（I）f_n（0）=0＜1，f_n（1）=n＞1，利用连续函数的介值定理可以得到方程f_n（x）=1的根的存在性；再由f_n（x）的单调性可得方程根的唯一性；（2）利用极限的性质计算可得．

（1）对于n=2，3，…，

f_n（0）=0＜1，f_n（1）=n＞1，

故由连续函数的介值定理可得，∃x_n∈（0，1）⊂[0，+∞），使得f_n（x_n）=1．

又因为∀x＞0，f_n′（x）=1+2x+…+nx^n-1＞0，

故f_n（x）在[0，+∞）上严格单调增，

从而方程f_n（x）=1在[0，+∞）内有唯一实根x_n．

（2）对于任意x＞0，

f_n+1（x）=f_n（x）+xⁿ⁺¹＞f_n（x），

所以f_n+1（x_n）＞f_n（x_n）=1=f_n+1（x_n+1）；

又因为f_n+1（x）在[0，+∞）上严格单调增，

故x_n+1＜x_n，

即{x_n}为单调递减序列．

又因为x_n∈（0，1）为有界序列，

故数列{x_n}收敛，设

lim

n→∞xn=A≤1．

计算可得，f_n（x）=x+x²+x³+…+xⁿ=

x−xn+1

1−x．

故

xn−xnn+1

1−xn＝1．

令n→+∞可得，

[A/1−A＝1，

求解即得，A=

2]．

故

lim

n→∞xn=[1/2]．

点评：

本题考点：介值定理及其推论的运用；用罗尔定理判断导函数根的存在问题．

考点点评：本题主要考查了连续函数的介值定理、函数的单调性、数列收敛性的判断方法以及数列极限的计算；题目的综合性较强，难度系数适中，需要仔细的分析、推导与计算．

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