已知α+β=1，αβ=-1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn
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解题思路：（1）运用完全平方公式和立方和公式进行计算，求出S1，S2，S3，S4的值．
（2）利用（1）中S2=3，S3=4，S4=7，猜想Sn=Sn-1+Sn-2，然后由α，β是方程x2-x-1=0的两根，得到α2=α+1，β2=β+1进行证明．
（3）根据（2）中的猜想得到上式为S7=S6+S5进行计算求出式子的值．
（1）∵α+β=1，αβ=-1．
∴S1=α+β=1．
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=1+2=3．
S3=α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）=（α+β）2-3αβ=1+3=4．
S4=α4+β4=（α2+β2）2-2α2β2=9-2=7．
故答案为：1，3，4，7；
（2）由（1）得：Sn=Sn-1+Sn-2．
证明：∵α，β是方程x2-x-1=0的两根，
∴有：α2=α+1，β2=β+1，
Sn-1+Sn-2=αn-1+βn-1+αn-2+βn-2
=
αn
α+
αn
α2+
βn
β+
βn
β2
=
αn(1+α)
α2+
βn(1+β)
β2
=αn+βn
=Sn．
故Sn=Sn-1+Sn-2．
（3）由（2）有：
α7+β7=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29．
点评：
本题考点： 整式的混合运算．
考点点评： 本题考查的是整式的混合运算，（1）题运用乘法公式计算求出S1，S2，S3，S4的值．（2）题以（1）题结果为依据猜想Sn，Sn-1，Sn-2的关系，并根据α，β是方程x2-x-1=0的两根进行证明．（3）题利用（2）题的结论进行计算求出式子的值．
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