如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD为对角线,求证：AC²+BD²=AB²+CD²+2BC×AD
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过B做BM⊥AM交DA的延长线于M,过C做CN⊥AN交AD的延长线于N∴∠BMD=90°∠CNA=90°BM∥CN∵AD∥BC∴四边形MBCN是矩形∴BC=MN=AM+AD+DNAM=BC-AD-DNBM=CN在Rt△ABM中AB²=BM²+AM²在Rt△MBD中BD²=DM²+BM²=(AD+AM)²+BM²=AD²+2AD×AM+AM²++BM²=AD²+2AD×AM+AB²=AD²+2AD×(BC-AD-DN)+AB²=AD²+2AD×BC-2AD²-2AD×DN+AB²=AB²+2AD×BC-AD²-2AD×DN……（1）在Rt△CDN中CD²=CN²+DN²在Rt△ACN中AC²=CN²+AN²=CN²+(AD+DN)²=CN²+AD²+2AD×DN+DN²=CD²+AD²+2AD×DN…………（2）（1）+（2）BD²+AC²=AB²+2AD×BC-AD²-2AD×DN+CD²+AD²+2AD×DN=AB²+2AD×BC+CD²即AC²+BD²=AB²+CD²+2BC×AD

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