（2014•河西区三模）已知函数f（x）=[1/3ax3−14x2+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1
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解题思路：（1）待定系数法求函数解析式，由f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立列出三个方程，解出a、b、c
（2）一元二次不等式解法，注意根之间比较，考查分类讨论思想
（3）考查二次函数最值问题，考查分类讨论思想，对m进行讨论，看对称轴与区间的关系．
（1）∵f（0）=0，∴d=0
∴f′(x)＝ax2−
1
2x+c及f'（1）=0，有a+c＝
1
2
∵f'（x）≥0在R上恒成立，即ax2−
1
2x+c≥0恒成立
显然a=0时，上式不能恒成立∴a≠0，函数f'（x）=ax2−
1
2x+
1
2−a是二次函数
由于对一切x∈R，都有f'（x）≥0，于是由二次函数的性质可得
a＞0
(−
1
2)2−4a(
1
2−a)≤0.
即
a＞0
a2−
1
2a+
1
16≤0，即
a＞0
(a−
点评：
本题考点： 导数的运算；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法．
考点点评： 本题考查导数的综合运用，具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、二次函数最值问题，分类讨论思想，对学生有一定的能力要求，属于难题．
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