解题思路：（1）由f（1）=0得a+b+c=0，∴b=-（a+c），求导数f′（x），把f′（0）f′（1）＞0表示为关于a，c的不等式，进而化为关于ca的二次不等式即可求得ca的取值范围；（2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，则x1+x2＝−2b3a，x1x2=c3a，把韦达定理代入k=f(x2)−f(x1)x2−x1可得关于a，b，c的表达式，令t=ca，k可化为关于t的二次函数式，借助（1）问t的范围即可求得k的范围；
（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），
∵f′（x）=3ax2+2bx+c，
∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，
∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c2＞0，
∴a≠0，c≠0，
∴[c/a−(
c
a)2＞0，
所以0＜
c
a＜1．
（2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，则x1+x2＝−
2b
3a]，x1x2=[c/3a]，
∴k=
f(x2)−f(x1)
x2−x1=
(ax23+bx22+cx2)−(ax13+bx12+cx1)
x2−x1
=
(x2−x1)[a(x22+x2x1+x12)+b(x2+x1)+c]
x2−x1
=a（x22+x2x1+x12）+b（x2+x1）+c
=a[(x2+x1)2−x2x1]+b（x2+x1）+c
=a（
4b2
9a2-[c/3a]）+b（-[2b/3a]）+c
=a[（
4b2
9a2-[c/3a]）+[b/a]（-[2b/3a]）+[c/a]]
=[2a/9]（-
b2
a2+[3c/a]），
令t=[c/a]，由b=-（a+c）得，[b/a]=-1-t，t∈（0，1），
则k=[2a/9][-（1+t）2+3t]=[2a/9]（-t2+t-1），
∵a＞0，-t2+t-1∈（-1，-[3/4]]，∴k∈（-[2a/9]，-[a/6]]．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；导数的运算；直线的斜率．
考点点评： 本题考查函数在某点取得极值的条件、导数运算及直线斜率，考查转化思想，解决（2）问关键是通过换元转化为关于t的二次函数，从而可利用二次函数性质解决．
