解题思路：（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可．
（II）令h（x）=f（x）-（[1/2]x2+x+1）=ex-[1/2]x2-x-1，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出．
（III）利用作差法得
f(a)+f(b)
2
-
f(b)−f(a)
b−a
=
e
a
2(b−a)
•[（b-a+2）+（b-a-2）•eb-a]．构造函数，令g（x）=x+2+（x-2）ex（x＞0），利用导数的符号研究其单调性，可得g（x）的符号，从而得到
f(a)+f(b)
2
与
f(b)−f(a)
b−a
的大小关系．
（1）由于f（x）=ex 的反函数为g（x）=lnx （x＞0），
则点（1，0）处的切线斜率为k=g′（1）=1，故点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），
即x-y+1=0．
（2）证明：设h（x）=f（x）-（[1/2]x2+x+1）=ex-[1/2]x2-x-1，
则h′（x）=ex-x-1，∵h″（x）=ex-1，故当x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）为减函数．
当x＞0时，h″（x）＞0，h′（x）为增函数．
故当x=0时，h′（x）取得最小值为0，故有h′（x）≥0恒成立，
故函数h（x）在R上是增函数，故函数h（x）最多有一个零点．
再根据h（0）=0，可得函数h（x）有唯一零点．
（3）设a＜b，∵
f(a)+f(b)
2-
f(b)−f(a)
b−a=
(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)
2(b−a)=
(2+b−a)•ea+(b−2−a)•eb
2(b−a)
=
(b−a+2)+(b−a−2)•eb−a
2(b−a)•ea=
ea
2(b−a)•[（b-a+2）+（b-a-2）•eb-a]．
由于
ea
2(b−a)＞0，故只需考虑 （b-a+2）+（b-a-2）•eb-a的符号即可．
令g（x）=x+2+（x-2）ex（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）ex．
在（0，+∞）上，g″（x）=xex＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，g（x）＞0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•ex＞0，且a＜b，∴
(b−2+a)+(b−2+a)eb−a•ea
2(b−a)＞0，
即
f(a)+f(b)
2＞
f(b)−f(a)
b−a．
点评：
本题考点： 反函数．
考点点评： 本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
