如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E为AB的中点．
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证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
∵E（2，1，0），C（0，2，0），B 1（2，2，2）
∴
E B 1 =(0， 1， 2) ，
ED =(-2， -1， 0) ．
设平面EB 1D的法向量为
n 1=（x，y，z），则
n 1 •
E B 1 =0
n 1 •
ED =0
即
y+2z=0
-2x-y=0 ，不妨取
n 1=（1，-2，1）．
同理，平面B 1CD的法向量
n 2=（-1，0，1）．…（3分）
∵
n 1•
n 2=-1+1=0，∴平面EB 1D⊥平面B 1CD．…（4分）
（2）解由（1）得平面B 1CD的法向量
n 2=（-1，0，1），
又平面CDE的法向量
n =（0，0，1），∴ cos＜
m ，
n ＞=
n 2 •
n
|
n 2 |•|
n | =
1
2 •1 =
2
2 …（7分）
∴二面角E-B 1C-D的大小为45°． …（8分）
（3）由（1）得平面B 1CD的法向量
n 2=（-1，0，1），又
DE =(2，1，0)
∴点E到平面B 1CD的距离为
|
n 2 •
DE |
|
n 2 | =
2
2 =
2 …（12分）
说明：采用其它方法进行解答的，按每小题（3分），根据作答情况酌情给分．
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