如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F，G分别为A 1 B 1 、B 1 C 1
1个回答
（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD 1分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0）， E(1，
1
2 ，1) ， F(
1
2 ，1，1) ， G(0，
1
2 ，1) ，
∴
AG =(-1，
1
2 ，1) ，
BF =(-
1
2 ，0，1) ，
∴ cos＜
AG ，
BF ＞=
3
2
3
2 •
5
2 =
2
5
5
故异面直线AG与BF所成角的余弦值为
2
5
5 ．
（2）∵
EF =(-
1
2 ，
1
2 ，0) ，
BF =(-
1
2 ，0，1) ，
而
AG =(-1，
1
2 ，1) ，∴
AG =
EF +
BF ，
故
AG 与平面BEF共面，
又因为AG不在平面BEF内，
∴AG ∥ 平面BEF．
（3）设M（1，1，m），则
DM =(1，1，m)
由
DM •
EF =0，
DM •
BF =0 ，
∴ -
1
2 +m=0⇒m=
1
2 ，
所以M为棱BB 1的中点时，DM⊥平面BEF．
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