设二维随机变量 （X，Y） 在 D={（x，y）|1≤x≤3，1≤y≤x }
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解题思路：（1）直接利用二维均匀分布的定义，求出联合概率密度；（2）先根据边缘概率密度的定义求出两个随机变量的概率密度，然后判断乘积是否与联合概率密度相等即可；（3）根据公式
f
Z
(z)＝
∫
+∞
−∞
f
X
(x， z−x) dx
求解．
（1）D的面积m（D）=2，所以，（X，Y） 的联合密度
f（x，y）=
1
2amp;(x，y)∈D
0amp;其它
（2）设X与 Y 的边际密度函数分别为fX（x） 和fY（y），
fX（x）=
∫+∞−∞f(x，y)dy=
∫x1
1
2dy=[1/2(x−1)，（1≤x≤3）．
fY（y）=
∫+∞−∞f(x，y)dx=
∫3y
1
2dx=
1
2(3−y)，（1≤y≤3）．
因为 f（x，y）≠fX（x）fY（y），所以 X与Y不独立．
（3）∵fZ(z)＝
∫+∞−∞fX(x， z−x) dx
非零区域
1≤x≤3
1≤z−x≤x]⇒
1≤x≤3
x+1≤z≤2x
当2≤z＜4时，fZ(z)＝
∫z−1
z
2
1
2dx=[z/4−
1
2]
当4≤z≤6时，fZ(z)＝
∫3
z
2
1
2dx=−
z
4+
3
2
其它，fZ（z）=0
∴fZ(z)＝
z
4−
1
2，2≤z＜4
−
z
4+
3
2，4≤z≤6
0，其它
点评：
本题考点： 联合分布和边缘分布的关系；二维均匀分布的概率密度．
考点点评： 此题考查二维均匀分布、离边缘概率密度的求解、随机变量函数的求解，这些基础知识点的综合，需熟练掌握，方能较快求解．
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