解题思路：（Ⅰ）首先，将（X，Y）的联合概率密度求出来，然后根据边缘概率密度的定义
f
X
(x)＝
∫
+∞
−∞
f(x，y)dy
求出（X，Y）的边缘密度fX（x），根据公式
F
Z
(z)＝
∫∫
x+y≤z
f(x，y)dxdy
先求出z的分布函数，然后再求其概率密度；（Ⅱ）首先求出EXY和EXEY，然后求出Cov（X，Y）=EXY-EXEY，再求相关系数ρXY；（Ⅲ）由（1）求出的边缘概率密度，根据条件概率密度公式
f
X|Y
(x|y)＝
f(x，y)
f
Y
(y)
求解．
区域D实际上是以（-1，0），（1，0），（0，1），（0，-1）为顶点的正方形区域，D的面积为2．
二维随机变量（X，Y）的联合概率密度f(x，y)＝
1
2，(x，y)∈D
0，其它
（Ⅰ）①根据边缘概率密度的定义
fX(x)＝
∫+∞−∞f(x，y)dy
∴当-1≤x≤0时，fX(x)＝
∫1+x−1−x
1
2dy＝1+x；
当0＜x≤1时，fX(x)＝
∫1+xx−1
1
2dy＝1−x；
当x＜-1或x＞1时，由于f（x，y）=0，因而fX（x）=0
∴fX(x)＝
1+x，−1≤x≤0
1−x，0＜x≤1
0，其它
②设Z=X+Y，则FZ(z)＝
∫∫
x+y≤zf(x，y)dxdy．
在区域D上，|x|+|y|≤1，所以-1≤z=x+y≤1．
∴当z≤-1时，FZ（z）=0；当z≥1时，FZ（z）=1；
当-1＜z＜1时，FZ(z)＝
∫∫
x+y≤zf(x，y)dxdy=
1+z
2•
2•
1
2＝
1+z
2
∴FZ(z)＝
0，z≤−1
1+z
2，−1＜z＜1
1，z≥1
∴Z的概率密度为fZ(z)＝[FZ(z)]′＝
1
2，−1＜z＜1
0，其它．
（Ⅱ） 由（I）X的概率密度fX(x)＝
1+x，−1≤x≤0
1−x，0＜x≤1
0，其它为奇函数，因而
EX＝
∫+∞−∞fX(x)dx＝0，EXY＝
∫+∞−∞
∫+∞−∞xyf(x，y)dxdy＝
1
2
∫∫
Dxydxdy＝0，
∴Cov（X，Y）=EXY-EXEY=0
∴ρXY=0
（Ⅲ）由fX（x）≠0，根据条件概率密度公式fX|Y(x|y)＝
f(x，y)
fY(y)，
得在X=0条件下，Y的条件密度
fY|X(y|x)＝
1
2，|y|≤1
0，其它
点评：
本题考点： 二维均匀分布的概率密度；均匀分布的数学期望和方差；相关系数的性质．
考点点评： 此题考查二维均匀分布的概率密度、边缘概率密度和条件概率密度以及相关系数的求解，知识点较多．
