设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其 - 已解决

设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D={（x，y）：|x|+|y|≤1}，又设Z=X+Y．试求（Ⅰ）X

设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D={（x，y）：|x|+|y|≤1}，又设Z=X+Y．试求

（Ⅰ）X的概率密度f_x（x）和Z的概率密度f_z（z）；

（Ⅱ）X与Y的相关系数ρ_XY；

（Ⅲ）在X=0条件下，Y的条件密度f_Y|X（y|x）．

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区域D实际上是以（-1，0），（1，0），（0，1），（0，-1）为顶点的正方形区域，D的面积为2．

二维随机变量（X，Y）的联合概率密度f(x，y)＝

2，(x，y)∈D

0，其它

（Ⅰ）①根据边缘概率密度的定义

fX(x)＝

∫+∞?∞f(x，y)dy

∴当-1≤x≤0时，fX(x)＝

∫1+x?1?x

2dy＝1+x；

当0＜x≤1时，fX(x)＝

∫1+xx?1

2dy＝1?x；

当x＜-1或x＞1时，由于f（x，y）=0，因而f_X（x）=0

∴fX(x)＝

1+x，?1≤x≤0

1?x，0＜x≤1

0，其它

②设Z=X+Y，则FZ(z)＝

∫∫

x+y≤zf(x，y)dxdy．

在区域D上，|x|+|y|≤1，所以-1≤z=x+y≤1．

∴当z≤-1时，F_Z（z）=0；当z≥1时，F_Z（z）=1；

当-1＜z＜1时，FZ(z)＝

∫∫

x+y≤zf(x，y)dxdy=

1+z

2＝

1+z

∴FZ(z)＝

0，z≤?1

1+z

2，?1＜z＜1

1，z≥1

∴Z的概率密度为fZ(z)＝[FZ(z)]′＝

2，?1＜z＜1

0，其它．

（Ⅱ）由（I）X的概率密度fX(x)＝

1+x，?1≤x≤0

1?x，0＜x≤1

0，其它为奇函数，因而

EX＝

∫+∞?∞fX(x)dx＝0，EXY＝

∫+∞?∞

∫+∞?∞xyf(x，y)dxdy＝

∫∫

Dxydxdy＝0，

∴Cov（X，Y）=EXY-EXEY=0

∴ρ_XY=0

（Ⅲ）由f_X（x）≠0，根据条件概率密度公式fX|Y(x|y)＝

f(x，y)

fY(y)，

得在X=0条件下，Y的条件密度

fY|X(y|x)＝

2，|y|≤1

0，其它

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