设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D={（x，y）：|x|+|y|≤1}，又设Z=X+Y．试求（Ⅰ）X
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区域D实际上是以（-1，0），（1，0），（0，1），（0，-1）为顶点的正方形区域，D的面积为2．
二维随机变量（X，Y）的联合概率密度f(x，y)＝
1
2，(x，y)∈D
0，其它
（Ⅰ）①根据边缘概率密度的定义
fX(x)＝
∫+∞?∞f(x，y)dy
∴当-1≤x≤0时，fX(x)＝
∫1+x?1?x
1
2dy＝1+x；
当0＜x≤1时，fX(x)＝
∫1+xx?1
1
2dy＝1?x；
当x＜-1或x＞1时，由于f（x，y）=0，因而fX（x）=0
∴fX(x)＝
1+x，?1≤x≤0
1?x，0＜x≤1
0，其它
②设Z=X+Y，则FZ(z)＝
∫∫
x+y≤zf(x，y)dxdy．
在区域D上，|x|+|y|≤1，所以-1≤z=x+y≤1．
∴当z≤-1时，FZ（z）=0；当z≥1时，FZ（z）=1；
当-1＜z＜1时，FZ(z)＝
∫∫
x+y≤zf(x，y)dxdy=
1+z
2?
2?
1
2＝
1+z
2
∴FZ(z)＝
0，z≤?1
1+z
2，?1＜z＜1
1，z≥1
∴Z的概率密度为fZ(z)＝[FZ(z)]′＝
1
2，?1＜z＜1
0，其它．
（Ⅱ） 由（I）X的概率密度fX(x)＝
1+x，?1≤x≤0
1?x，0＜x≤1
0，其它为奇函数，因而
EX＝
∫+∞?∞fX(x)dx＝0，EXY＝
∫+∞?∞
∫+∞?∞xyf(x，y)dxdy＝
1
2
∫∫
Dxydxdy＝0，
∴Cov（X，Y）=EXY-EXEY=0
∴ρXY=0
（Ⅲ）由fX（x）≠0，根据条件概率密度公式fX|Y(x|y)＝
f(x，y)
fY(y)，
得在X=0条件下，Y的条件密度
fY|X(y|x)＝
1
2，|y|≤1
0，其它
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