设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中D={(x,y):|x|+|y|≤1},又设Z=X+Y.试求(Ⅰ)X
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区域D实际上是以(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形区域,D的面积为2.

二维随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)=

1

2,(x,y)∈D

0,其它

(Ⅰ)①根据边缘概率密度的定义

fX(x)=

∫+∞?∞f(x,y)dy

∴当-1≤x≤0时,fX(x)=

∫1+x?1?x

1

2dy=1+x;

当0<x≤1时,fX(x)=

∫1+xx?1

1

2dy=1?x;

当x<-1或x>1时,由于f(x,y)=0,因而fX(x)=0

∴fX(x)=

1+x,?1≤x≤0

1?x,0<x≤1

0,其它

②设Z=X+Y,则FZ(z)=

∫∫

x+y≤zf(x,y)dxdy.

在区域D上,|x|+|y|≤1,所以-1≤z=x+y≤1.

∴当z≤-1时,FZ(z)=0;当z≥1时,FZ(z)=1;

当-1<z<1时,FZ(z)=

∫∫

x+y≤zf(x,y)dxdy=

1+z

2?

2?

1

2=

1+z

2

∴FZ(z)=

0,z≤?1

1+z

2,?1<z<1

1,z≥1

∴Z的概率密度为fZ(z)=[FZ(z)]′=

1

2,?1<z<1

0,其它.

(Ⅱ) 由(I)X的概率密度fX(x)=

1+x,?1≤x≤0

1?x,0<x≤1

0,其它为奇函数,因而

EX=

∫+∞?∞fX(x)dx=0,EXY=

∫+∞?∞

∫+∞?∞xyf(x,y)dxdy=

1

2

∫∫

Dxydxdy=0,

∴Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0

∴ρXY=0

(Ⅲ)由fX(x)≠0,根据条件概率密度公式fX|Y(x|y)=

f(x,y)

fY(y),

得在X=0条件下,Y的条件密度

fY|X(y|x)=

1

2,|y|≤1

0,其它