设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y）=[1/2][φ1（x，y）+φ2（x，y）]，其中φ1（x，y）和φ2
1个回答
解题思路：（1）二维正态密度函数的两个边缘密度函数都是正态密度函数，利用f1（x）=
∫
+∞
−∞
f(x，y)dy
可以求出各自密度函数，利用相关系数的定义可以求出相关系数，
（2）只需求出f（x，y）和f1（x）•f2（y）是否相等即可判断．
（1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度函数都是正态密度函数，因此，
φ1（x，y）φ2（x，y）的两个边缘密度函数为标准正态密度函数，故
f1（x）=
∫+∞−∞f(x，y)dy=[1/2][
∫+∞−∞φ1（x，y）dy+
∫+∞−∞φ2（x，y）dy]=
1
2(
1
2πe−2x2+
1
2πe−2x2)=
1
2πe−2x2，
同理：
f2（y）=
1
2πe−2y2，
可见 X～N（0，1），Y～N（0，1），因此有
EX=0，DX=1，EY=0，DY=1，
于是随机变量X和Y的相关系数为：
ρ=
COV(X，Y)
DX
DY=
EXY−EXEY
DX
DY=EXY=
∫+∞−∞
∫+∞−∞xyf（x，y）dxdy=[1/2]（
∫+∞−∞
∫+∞−∞xyφ1（x，y）dxdy+
∫+∞−∞
∫+∞−∞xyφ2（x，y）dxdy）=[1/2]（[1/3]-[1/3]）=0
（2）由题设：
f（x，y）=
2
8π
2(e−
9
16(x2−
2
3xy+y2)+e−
9
16(x2+
2
3xy+y2))
f1（x）•f2（y）=[1/2πe−
x2
2]•e−
y2
2=[1/2πe
(x2+y2)
−2]
可见：
f（x，y）≠f1（x）•f2（y）
因此X和Y不独立．
点评：
本题考点： 二维正态分布独立与相关的关系；二维正态分布的概率密度；二维正态分布的分布函数；二维正态分布的边缘分布．
考点点评： 本题主要考查二维正态分布概率密度函数、分布函数、联合分布以及相关系数，综合性较强，属于中等难度题．
相关问题
