已知数列{an}满足：a1=1；an+1-an=1，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2，n∈N*．
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解题思路：（1）由已知中a1=1；an+1-an=1，可得数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，进而得到数列{an}的通项公式；结合Sn+bn=2，可得Sn+1+bn+1=2，两式相减后整理可得bn+1bn=12，即数列{bn}为公比为12等比数列，根据S1+b1=2求出首项后，可得数列{bn}的通项公式；（2）根据cn＝1(an+1)(an+1+1)，结合（1）中结论，可得数列{cn}的通项公式，进而利用裂项相消法，可得数列{cn}的前n项和Tn．

（1）由已知得数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1．

∴数列{an}的通项公式为an=n…2分

∵Sn+bn=2，

∴Sn+1+bn+1=2，

两式相减得Sn+1-Sn+bn+1-bn=0，

即2bn+1-bn=0，

化简得

bn+1

bn=[1/2]…4分

所以数列{bn}为等比数列，…5分

又S1+b1=2，

∴b1=1…6分

所以bn=[1

2n−1 …7分

（2）由（1）可得cn＝

1

(an+1)(an+1+1)=

1

(n+1)(n+2)=

1

(n+1)-

1

(n+2)…10分

∴Tn=（

1/2]-[1/3]）+（[1/3]-[1/4]）+…+（[1

(n+1)-

1

(n+2)）=

1/2]-

1

(n+2)=

n

2(n+2) …12分．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的前n项和．

考点点评： 本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，是数列的综合应用，难度中档．

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