解题思路：（1）由已知条件推导出an-2=an-1（n≥2）或an-2=-an-1（n≥2），由此能证明数列{an}为等差数列．
（2）由an=2n-1，知
a
m
2
+
a
m+1
2
−
a
m+2
2
a
m
a
m+1
=1-[6/2m−1]，由此能求出所有的正整数m，使得
a
m
2
+
a
m+1
2
−
a
m+2
2
a
m
a
m+1
为整数．
（3）由an=2n-1，知
b
n
＝
1
(2n−1)(2n+1)
＝
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
，由此利用裂项求和法结合已知条件能求出实数λ的取值范围．
（1）证明：由4Sn−4n+1＝an2，
得4Sn−1−4(n−1)+1＝an−12(n≥2)，…（2分）
所以4an−4＝an2−an−12(n≥2)，
即an2−4an+4＝an−12，即(an−2)2＝an−12（n≥2），
所以an-2=an-1（n≥2）或an-2=-an-1（n≥2），
即an-an-1=2（n≥2）或an+an-1=2（n≥2），…（4分）
若an+an-1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1，
所以a2=1，则a1=a2，这与数列{an}递增矛盾，
所以an-an-1=2（n≥2），故数列{an}为等差数列．…（6分）
（2）由（1）知an=2n-1，
所以
am2+am+12−am+22
amam+1=
(2m−1)2+(2m+1)2−(2m+3)2
(2m−1)(2m+1)
=
4m2−12m−7
4m2−1＝
4m2−1−12m−6
4m2−1＝1−
6/2m−1]，…（8分）
因为1−
6
2m−1∈Z，所以[6/2m−1∈Z，
又2m-1≥1且2m-1为奇数，所以2m-1=1或2m-1=3，故m的值为1或2．…（10分）
（3）由（1）知an=2n-1，则bn＝
1
(2n−1)(2n+1)＝
1
2(
1
2n−1−
1
2n+1)，
所以Tn=b1+b2+…+bn
=
1
2[(1−
1
3)+(
1
3−
1
5)+…+(
1
2n−1−
1
2n+1)]
=
1
2(1−
1
2n+1)＝
n
2n+1]，…（12分）
从而λ•
n
2n+1＜n+18(−1)n+1对任意n∈N*恒成立等价于：
当n为奇数时，λ＜
(2n+1)(n+18)
n恒成立，
记f(n)＝
(2n+1)(n+18)
n，则f(n)＝2(n+
9
n)+37≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，
当n为偶数时，λ＜
(2n+1)(n−18)
n恒成立．
记g(n)＝
(2n+1)(n−18)
n，因为g(n)＝2(n−
9
n)−35递增，所以g（n）min=g（2）=-40，
所以λ＜-40．综上，实数λ的取值范围为λ＜-40．…（16分）
点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查满足条件的所有的正整数的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
