已知函数f（x）=[ax+b/x]ex，a，b∈R，且a＞0．
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解题思路：（1）a=2，b=1时求出f′（x）=0的根，根据导数的符号变化规律可求得极值点，进而得到极值；（2）a=1时，g（x）≥1可化为b≤x2−2x−xex，记h（x）=x2−2x−xex（x＞0），从而问题转化为b≤h（x）min，利用导数即可求得最小值；
（1）当a=2，b=1时，f（x）=[2x+1/x•ex，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
∴f′（x）=−
1
x2•ex+
2x+1
x•ex=
(2x−1)(x+1)
x2•ex．
令f′（x）=0，得x=-1或
1
2]，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞[1/2]；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0或0＜x＜[1/2]．
∴x=-1时f（x）取得极大值f（-1）=[1/e]，x=[1/2]时f（x）取得极小值f（[1/2]）=4
e；
（2）∵g（x）=a（x-1）ex-f（x）=（ax-[b/x]-2a）ex，
当a=1时，g（x）=（x-[b/x]-2）ex，
∵g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立，
∴b≤x2−2x−
x
ex在（0，+∞）上恒成立，
记h（x）=x2−2x−
x
ex（x＞0），则h′（x）=
(x−1)(2ex+1)
ex，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数．
∴h（x）min=h（1）=-1-[1/e]．
∴b≤−1−
1
e，即b的最大值为-1-[1/e]．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 该题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查函数恒成立，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．
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