解题思路：（1）求出导函数f′（x），对a进行分类讨论，令导函数f′（x）＞0，求解即可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）对a进行分类讨论，利用导数分别求解函数的最值，再根据函数f（x）在[1，e]上的最小值为[3/2]，列出方程，求解即可求得a的值；
（3）利用参变量分离法，将不等式f（x）＜x2转化为a＞xlnx-x3在（1，+∞）上恒成立，进而利用导数求函数令g（x）=xlnx-x3的取值范围，即可求得实数a的取值范围．
（1）∵函数f(x)＝lnx−
a
x，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)＝
1
x+
a
x2＝
x+a
x2，
①当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
②当a＜0时，令f′（x）＞0，解得x＞-a，
∴f（x）的单调增区间为（-a，+∞）．
综合①②，当a≥0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-a，+∞）；
（2）由（1）可知，f′(x)＝
x+a
x2，
①若a≥-1，则x+a≥0，
∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
∴f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝−a＝
3
2，
∵a≥-1，
∴a＝−
3
2(舍去)；
②若a≤-e，则x+a≤0，
∴f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
∴f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1−
a
e＝
3
2，
∵a≤-e，
∴a＝−
e
2(舍去)；
③若-e＜a＜-1，
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数，
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f(x)min＝f(−a)＝ln(−a)+1＝
3
2，
∴a＝−
e．
综合①②③可得，实数a的值为a＝−
e；
（3）∵f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，
∴lnx−
a
x＜x2在（1，+∞）上恒成立，
∵x＞0，
∴不等式两边同乘以x得xlnx-a＜x3，即a＞xlnx-x3在（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=xlnx-x3，
∴h（x）=g′（x）=1+lnx-3x2，
∴h′(x)＝
1
x−6x＝
1−6x2
x，
∵x＞1，
∴h′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴h（x）＜h（1）=-2，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数，
∴g（x）＜g（1）=-1，
∴a≥-1．
故实数a的取值范围为a≥-1．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．同时利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．
