已知函数f（x）=logax，g（x）=x，h（x）=ax．

已知函数f（x）=logax，g（x）=x，h（x）=ax．

（1）若a=2，设m（x）=h（x）-g（x），n（x）=g（x）-f（x），当x＞1时，试比较m（x）与n（x）的大小（只需要写出结果，不必证明）；

（2）若

a＝

1

2

，设P是函数g（x）图象在第一象限上的一个动点，过点P作平行于x轴的直线

与函数h（x）和f（x）的图象分别交于A、B两点，过点P作平行于y轴的直线与函数h（x）和f（x）的图象分别交于C、D两点，求证：|AB|=|CD|．

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解题思路：（1）大小关系：m（x）＞n（x）．

（2）设P（t，t），（t＞0），分别求出A、B、C、D坐标，再利用两点距离公式计算证明．

（1）大小关系：m（x）＞n（x）

（2）由点P在直线g（x）=x上，设P（t，t），（t＞0）

由t＝(

1

2)x，得x=-log2t，∴A（-log2t，t），

由t＝log

1

2x，得x＝(

1

2)t，B((

1

2)t，t)．∴|AB|＝|(

1

2)t+log2t|．…（5分）

∵C(t，(

1

2)t)，D（t，-log2t），∴|CD|＝|(

1

2)t+log2t|．

∴|AB|=|CD|．…（7分）

点评：

本题考点： 函数与方程的综合运用；不等关系与不等式；两点间的距离公式．

考点点评： 本题考查函数的性质及应用，考查了图象交点，距离公式的应用．属于基础题．

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