已知函数f(x)＝lnx−ax．
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解题思路：（Ⅰ）求导函数，对参数a进行讨论，即可确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）先分离参数，构造函数，确定函数的最大值，即可求得m的取值范围．
（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)＝
1
x+
a
x2＝
x+a
x2(x＞0)
当a＜0时，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
当a≥0时，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．…（4分）
（Ⅱ）2xlnx≤2mx2-1，得到[lnx/x+
1
2x2≤m
令函数g(x)＝
lnx
x+
1
2x2]，求导数，可得g′(x)＝
1−lnx−
1
x
x2
a=-1时，f(x)＝lnx+
1
x，x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）≥f（1）=1，即lnx+
1
x≥1，∴g′(x)＝
1−lnx−
1
x
x2≤0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，
∴函数g(x)＝
lnx
x+
1
2x2在[1，e]上的最大值为[1/2]
∴在[1，e]上，若[lnx/x+
1
2x2≤m恒成立，则m≥
1
2]．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是确定函数的单调性，确定函数的最值．
