我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对
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解题思路：（1）延长AO交BC于M点，由O为等腰直角三角形ABC的重心可得AO=2MO；再通过证明BCFE为矩形，可得BE=MO=CF，即可得AD=EB+CF；
（2）连接AO并延长交BC于点G，过G做GH⊥EF于H，由重心可得AO=2MO；再通过证明△AOD∽△GOH得AD=2HG；然后证得H为EF的中点，据中位线定理HG=[1/2]（EB+CF），即可得AD=EB+CF；
（3）图3不成立，CF-BE=AD．
（1）猜想：BE+CF=AD（1分）
证明：如图，延长AO交BC于M点，
∵点O为等腰直角三角形ABC的重心
∴AO=2OM且AM⊥BC
又∵EF∥BC∴AM⊥EF
∵BE⊥EF，CF⊥EF
∴EB∥OM∥CF
∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD．（3分）
（2）图2结论：BE+CF=AD
证明：连接AO并延长交BC于点G，
过G做GH⊥EF于H，
由重心性质可得AO=2OG，
∵∠ADO=∠OHG=90°，∠AOD=∠HOG，
∴△AOD∽△GOH，
∴AD=2HG，（5分）
∵O为重心，
∴G为BC中点，
∵GH⊥EF，BE⊥EF，CF⊥EF，
∴EB∥HG∥CF，
∴H为EF中点，
∴HG=[1/2]（EB+CF），
∴EB+CF=AD（7分）
（3）连接AO并延长交BC于点G，AO=2OG，
过G做GH⊥EF于H，再连接BH并延长交CF于R，
得△BEH≌△RFH（AAS），
所以CR=CF-BE=2HG=AD．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理；矩形的性质．
考点点评： 本题主要考查三角形相似的判定及性质，涉及到中位线定理、重心的性质、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
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