证明 设x=tan(A/2),y=tan(B/2),z=tan(C/2) ,则x,y,z>0.
根据三角形万能置换公式得:
sin(A/2)=x/√(1+x^2); sin(B/2)=y/√(1+y^2); sin(C/2)=z/√(1+z^2).
对所证不等式作置换得:
[y/√(1+y^2)+z/√(1+z^2)]^2+[z/√(1+z^2)+x/√(1+x^2)]^2+[x/√(1+x^2)+y/√(1+y^2)]^2≤3
注意到恒等式:yz+zx+xy=1,上述两端同乘(y+z)*(z+x)*(x+y) 即证:
[y√(z+x)+z√(x+y)]^2+[z√(x+y)+x√(y+z)]^2+[x√(y+z)+y√(z+x)]^2
≤3(y+z)*(z+x)*(x+y);
因为
[y√(z+x)+z√(x+y)]^2=y^2*(z+x)+z^2*(x+y)+2yz√[(z+x)(x+y)]
≤y^2*(z+x)+z^2*(x+y)+yz[(z+x)+(x+y)]=2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+z^2) ,
所以得:
[y√(z+x)+z√(x+y)]^2≤2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+z^2) (1)
同理可得:
[z√(x+y)+x√(y+z)]^2≤2xyz+2zx(z+x)+y(z^2+x^2) (2)
[x√(y+z)+y√(z+x)]^2≤2xyz+2xy(x+y)+z(x^2+y^2) (3)
(1)+(2)+(3)得:
[y√(z+x)+z√(x+y)]^2+[z√(x+y)+x√(y+z)]^2+[x√(y+z)+y√(z+x)]^2
≤2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2)
+2xyz+2zx(z+x)+y(z^2+x^2)+2xyz+2xy(x+y)+z(x^2+y^2)
=3(y+z)*(z+x)*(x+y).
故所证不等式成立.证毕
