已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．
1个回答
解题思路：本题（Ⅰ）利用递推关系条件，根据等差数列定义，证明
{
a
n
2
n
}
是等差数列，得到本题结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到数列
{
a
n
2
n
}
的通项公式，从而得到数列{an}的通项公式；（Ⅲ）利用错位相减法，求出数列{an}的前n项和为Sn，得到本题结论．
（Ⅰ）证明：∵数列{an}满足an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．
∴
an
2n=
an-1
2n-1+1，
∴
an
2n-
an-1
2n-1=1，
∴{
an
2n}是等差数列．
（Ⅱ）∵数列{an}满足a1=1，
∴
a1
21=
1
2，
由（Ⅰ）知：{
an
2n}是等差数列．
∴
an
2n=
1
2+(n-1)=n-
1
2．
∴an=(2n-1)2n-1．
（Ⅲ）由an=(2n-1)2n-1得：
Sn=1•20+3•21+5•22+…+（2n-1）2n-1，…①
2Sn=1•21+3•22+5•23+…+（2n-1）2n，…②
将①-②得：-Sn=1+2•21+2•22+2•23+…+2•2n-1-（2n-1）•2n，
即：-Sn=1+（2•21+2•22+2•23+…+2•2n-1）-（2n-1）•2n，
=1+
22(1-2n-1)
1-2-（2n-1）•2n，
=-3+（3-2n）•2n，
∴Sn=（2n-3）•2n+3．
点评：
本题考点： 数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．
考点点评： 本题考查了构造数列法求数列通项、错位相减法求数列的和，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．
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