三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，侧棱AA 1 ⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AA 1 =4，
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（1）连接A 1C，∵A 1B 1∥ AB，∴∠A 1B 1C即为AB与B 1C所成角或其补角，
在Rt△CBB 1中，CB 1=
B C 2 +B B 1 2 =
4 2 + 4 2 =4
2 ，在Rt△A 1AC中， A 1 C=
A 1 A 2 +A C 2 =
4 2 + 3 2 =5，
在Rt△ACB中，AB=
A C 2 +C B 2 =
3 2 + 4 2 =5，
在△A 1B 1C中，由余弦定理得，cos∠A 1B 1C=
A 1 B 1 2 +C B 1 2 - A 1 C 2
2× A 1 B 1 ×C B 1 =
5 2 +(4
2 ) 2 - 5 2
2×5×4
2 =
2
2
5 ，
故异面直线AB与B 1C所成角的余弦值为
2
2
5 ．
（2）证明：分别以
CA ，
CB ，
C C 1 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），C 1（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），B 1（0，4，4），
C B 1 =（0，4，4），
CA =（3，0，0），
A C 1 =（-3，0，4），
AB =（-3，4，0），
设
n 1 =（x，y，z）为平面ACB 1的一个法向量，则
n 1 •
C B 1 =0
n 1 •
CA =0 ，即
4y+4z=0
3x=0 ，取
n 1 =（0，1，-1），
设
n 2 =（x，y，z）为平面ABC 1的一个法向量，则
n 2 •
A C 1 =0
n 2 •
AB =0 ，即
-3x+4z=0
-3x+4y=0 ，取
n 2 =（4，3，3），
因为
n 1 •
n 2 =（0，1，-1）•（4，3，3）=0×4+1×3+（-1）×3=0，
所以
n 1 ⊥
n 2 ，
故面ACB 1⊥面ABC 1．
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