如图所示,在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA 1 =4.
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(1)证明:在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC 1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC 1分别为x轴y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C 1(0,0,4),B(0,4,0),B 1(0,4,4).

AC =(-3,0,0),

B C 1 =(0,-4,4),∴

AC •

B C 1 =0,即

AC ⊥

B C 1 ,

∴AC⊥BC 1

(2)假设在AB上存在点D使得AC 1∥ 平面CDB 1,则

AD =λ

AB =(-3λ,4λ,0),其中0≤λ≤1,则D(3-3λ,4λ,0),

B 1 D =(3-3λ,4λ-4,-4),

B 1 C =(0,-4,-4),

A C 1 =(-3,0,4),AC 1∥ 平面CDB 1,所以存在实数m,n,使

A C 1 =m

B 1 D +n

B 1 C 成立,

∴m(3-3λ)=-3,m(4λ-4)-4n=0,-4m-4n=4,

所以λ=

1

2 ,所以在AB上存在点D使得AC 1∥ 平面CDB 1,且D为AB的中点.

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