如图，三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，侧棱垂直底面，AC⊥BC，D是棱AA 1 的中点，AA 1 =2AC=2
1个回答

（1）证明：∵BC⊥CC 1，BC⊥AC，AC∩CC 1=C，∴BC⊥平面ACC 1A 1，

C 1D⊂平面ACC 1A 1，∴BC⊥C 1D，

A 1C 1=A 1D=AD=AC，∴ ∠ A 1 D C 1 =∠ADC=

π

4 ，

∴ ∠ C 1 DC=

π

2 ，即C 1D⊥DC，

又BD∩CD=C，∴C 1D⊥平面BDC，

（2）三棱锥C-BC 1D即三棱锥C 1-BCD，由（1）知BC⊥CD，

CD=

2 a，BC=a

∴△BCD的面积 S=

1

2 ×BC×CD=

2

2 a 2 ，

由（1）知，C 1D是三棱锥C 1-BCD底面BDC上的高，

∴体积 V=

1

3 Sh=

1

3 ×S× C 1 D =

1

3 ×

2

2 a 2 ×

2 a=

1

3 a 3 ．

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