已知函数f(x)＝log121−kxx−1为奇函数．
1个回答
（I）∵f(x)＝log
1
2
1−kx
x−1为奇函数
∴f（-x）=-f（x），
即log
1
2
1+kx
−x−1＝−log
1
2
1−kx
x−1＝log
1
2
x−1
1−kx，
∴[1+kx/−x−1＝
x−1
1−kx]，即1-k2x2=1-x2，整理得k2=1．
∴k=-1（k=1使f（x）无意义而舍去）．
（Ⅱ）∵f(x)＝log
1
2
1+x
x−1．
∴f（a）-f（b）=log
1
2
1+a
a−1-log
1
2
1+b
b−1=log
1
2
1+a
a−1
1+b
b−1
=log
1
2
(1+a)(b−1)
(a−1)(1+b)＝log
1
2
ab−a+b−1
ab+a−b−1．
当a＞b＞1时，ab+a-b-1＞ab-a+b-1＞0，
∴0＜
ab−a+b−1
ab+a−b−1＜1，
从而log
1
2
ab−a+b−1
ab+a−b−1＞log
1
21＝0，
即f（a）-f（b）＞0．
∴f（a）＞f（b）．
（Ⅲ）由（2）知，f（x）在（1，+∞）递增，
∴g(x)＝f(x)−(
1
2)x+m在[3，4]递增．
∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，
∴g(3)＝log
1
2
1+1
3−1
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