已知函数f（x）=log121−kxx−1为奇函数
1个回答
解题思路：（1）由于f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），即可得出k；
（2）利用对数函数的单调性和不等式的性质通过作差即可得出；
（3）利用（2）函数f（x）的单调性、指数函数的单调性即可得出．
（1）∵f（x）=log
1
2
1−kx
x−1为奇函数
∴f（-x）=-f（x），
即log
1
2
1+kx
−x−1=-log
1
2
1−kx
x−1，
∴1-k2x2=1-x2，整理得k2=1．
∴k=-1（k=1使f（x）无意义而舍去）．
（2）∵f（x）=log
1
2
1+x
x−1=log2
x−1
x+1
设a＞b＞1时，
∴f（a）-f（b）=log2[a−1/a+1]-log2[b−1/b+1]=log2（[a−1/a+1]•
b+1
b−1）=log2[ab+a−b−1/ab−a+b−1]
∵a＞b＞1时，ab+a-b-1＞ab-a+b-1＞0，
∴[ab+a−b−1/ab−a+b−1]＞1，
从而log2[ab+a−b−1/ab−a+b−1]＞0
即f（a）-f（b）＞0．
∴f（a）＞f（b）．
f（x）在（1，+∞）递增
（3）由（2）知，f（x）在（1，+∞）递增，
∴g（x）=f（x）-(
1
2)x+m在[3，4]递增．
∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，
∴g（3）=log
1
2
1+3
3−1−(
1
2)3+m=-[9/8]+m＞0．
或g（4）=log
1
2
1+4
4−1−(
1
2)4+m=log
1
2
5
3-[1/16]+m＜0，
∴m＞[9/8]或m＜[1/16]-log
1
2
5
3
点评：
本题考点： 对数函数的图像与性质．
考点点评： 本题考查了函数的奇偶性、单调性、不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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