解题思路：（1）①先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
②因为曲线f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为 f′（0），所以函数f（x）的图象在点（0，0）处切线方程可以用点斜式求得．
（2）因为函数f（x）既有极大值，又有极小值，则
f′(x)＝
x
2
−2mx+
3
2
m＝0
有两个不同的根，有△＞0，再令
g(x)＝f(x)−m
x
2
−(
3
2
m−3
m
2
)x＝
1
3
x
3
−2m
x
2
+3
m
2
x
求出导数，利用导数研究它的单调性及最值，从而求得m的取值范围．
（1）当m=2时，f(x)＝
1
3x3−2x2+3x，则f'（x）=x2-4x+3，（1分）
①令f'（x）=x2-4x+3=0，解得x=1或x=3（2分）
函数的单调递增区间是：（-∞，1），（3，+∞）函数的单调递减区间是：（1，3）（4分）
②f'（0）=3，
∴函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程为y=3x．（6分）
（2）因为函数f（x）既有极大值，又有极小值，则f′(x)＝x2−2mx+
3
2m＝0有两个不同的根，
则有△=4m2-6m＞0，又m＞0，∴m＞
3
2（8分）
令g(x)＝f(x)−mx2−(
3
2m−3m2)x＝
1
3x3−2mx2+3m2x
g'（x）=x2-4mx+3m2=0⇒x=m，或x=3m，（10分）
∴g'（x）＞0⇒x＜m或x＞3m，g'（x）＜0⇒m＜x＜3m
∴g（x）在[0，m），（3m，4m]上为增函数，在（m，3m）上为减函数，（12分）
∴g(m)＝
4
3m3，g(3m)＝0为g(x)的极值，又g(0)＝0，g(4m)＝
4
3m3，
∴g（x）最大值为
4
3m3，
∴
4
3m3＜
32
3⇒m＜2（13分）m的取值范围为
3
2＜m＜2．（14分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查的是利用导数求曲线的切线方程、函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
